1 · 为什么需要"多变量"能力
前面几册（第 4 册计量型、第 3 册机器性能）都默认一个特性、一条规格上下限。但现实中很多关键特性是一组相关量：
这些量往往相关，而且公差区常常不是"矩形方框"，而是圆形、椭圆、圆柱等形状。这时把每个量单独算 Cp 再取最小，会严重高估真实能力——因为单独看每个量都合格，联合起来却可能落在公差区外。
2 · 两类指数：Type I（概率）与 Type II（体积比）
Type I —— 概率型
把指数和"点落在公差区里的概率 P"挂钩。
核心思路：在公差区中心放一个最大的等值线椭圆（完全落在公差区内），算该椭圆覆盖的概率 P，再换算成指数。
居中：Cp ≈ (P + 1) / 2（单变量映射）
注：严格的多变量公式用"最大可容纳等值椭圆"的概率 P，单变量时 (P+1)/2 正好回到 Cp=Φ⁻¹((P+1)/2)/3 的熟悉形式。
Type II —— 体积比型
把指数定义为公差区体积与过程变异区体积之比。
例如 Type IIa：找一个与过程分布同形（椭圆）且完全落在公差区内的区域，用面积/体积比定指数。
a = 1/d（常用）
3 · 样本量：至少要 125
多变量估计比单变量更需要数据——要同时估均值向量和协方差矩阵（d 个量需要估 d(d+1)/2+ d 个参数）。标准明确建议：样本量最好不少于 125 组测量值。
4 · 二维位置公差算例（孔位，n=100）
一个零件上的孔，其位置由 (X, Y) 两个坐标描述，公差区是一个矩形方框：
| 坐标 | 下规格 L | 上规格 U | 公差宽 |
|---|---|---|---|
| X | 79.750 | 80.250 | 0.500 |
| Y | −116.750 | −116.250 | 0.500 |
实测 n = 100 组 (X, Y)。标准给出的结果：
5 · 互动探索器：圆形公差区 + 双变量正态
二维能力探索器（公差区 = 以目标为圆心、半径 R 的圆）
6 · 单变量 vs 多变量：为什么不能"各算各的再取最小"
假设 X、Y 各自 Cp=1.33（单变量都"合格"），但二者强正相关：当 X 偏大时 Y 也偏大。联合分布被"斜拉成一条"，点更容易顶到公差区的角上，联合不合格率远高于两个单变量不合格率之和。
直觉：单变量指数看的是"每个轴的盒子"，多变量指数看的是"真正的公差形状"。公差区越是圆/椭圆（位置度、同轴度），二者的差距越大。
7 · Type Ic / IIc：引入"功能函数"
Type Ic / IIc 在 Type I / II 基础上，多了一个转换函数 q(x)——它把原始特性 x 映射成一个"功能合格度"标量，再按单变量方式算 PCI。
Cpk_Ic = (q99.865% − q50%) / (q99.865% − q0.135%)
例（标准图 5 的宽度/对称公差，MMC 下的资格函数 q(x) 由三段直线构成）：先按功能把"越偏离名义值越差"量化成 q，再算 q 的分位数。几何规范（第 9 册）大量使用这种思路。
8 · 一维 ↔ 多变量的公式桥梁（附录取 A）
单变量时，设过程正态、均值 μ、标准差 σ。把"落在公差 [L,U] 内的最大居中区间"的概率记为 P：
⇒ Cp = Φ⁻¹((P + 1) / 2) / 3
多变量把"区间"换成"椭圆"：Cp 由"最大可容纳等值椭圆"覆盖的概率 P 同样按此映射给出（d=2 时用椭圆、d≥3 时用超椭圆）。这就是为什么 Type I 用概率 P 作核心量——它把单变量公式自然推广到了多维。
9 · 所以呢？（落地建议）
① 先判断是否该用多变量。只要公差区不是独立矩形（位置度/同轴度/圆/圆柱/动平衡），或特性间显著相关，就该用本册方法，别再"各算各的取最小"。
② 样本量拉到 ≥125。协方差矩阵要估的参数多，n 太小指数会不稳。
③ 用概率 P 说话。无论是 Type I 还是 II，最终都落到"点落在公差区的概率"。用第 5 节的探索器调一调 σ 和偏移，就能直观看到能力怎么塌。
10 · 数据来源与说明
本页公式与算例来自 ISO 22514-6:2013(E)。原文件为扫描版，内容经 130 DPI 渲染 + PaddleOCR v4 识别；关键数值（孔位算例 Pp=2.43/Ppk=1.48、Type I/II 定义、样本量≥125）已与原文核对。第 5 节探索器的"联合合格概率 P"由二维数值积分实时计算，可离线复算。