GB/T 17989.4-2020 累积和（CUSUM）控制图

① 缘起：为什么还要学 CUSUM？

你已学过常规（休哈特）控制图。它很好，但对很小的过程偏移反应迟钝——这正是 CUSUM（Cumulative Sum，累积和）要解决的。

常规控制图用“单点是否越出 ±3σ 控制限”来报警。但如果过程均值只是悄悄地从 10.0 滑到了 10.3（仅 0.3σ），单个点几乎都不会越限，要等几十个点才偶然“抓到”一个。这种微小但持续的漂移，休哈特图很吃力。

CUSUM 的思路很朴素：把每个观测值与目标值的偏差累加起来。偶尔的噪声会正负抵消，但持续的方向性偏移会不断累积，像滚雪球一样很快露出马脚。标准里用了一个很生活化的比喻——

🏌️ 高尔夫记分卡：球员每洞用“实际杆数 − 标准杆”记分，再把各洞偏差累加。单洞打平（+0）没信息，但连续几洞都 +1、+2……累积和曲线就会一路向上爬，立刻暴露“状态在变差”。这就是累积和方法的本质。

CUSUM 控制图是常规控制图的有益补充：对小偏移更敏感、更易用，并且能精确定位变点（过程到底是什么时候开始变坏的）。本讲解按“直觉 → 公式 → 手算 → 判异方案 → 方案设计”的顺序展开。

📌 本页所有交互完全离线。你可以拖动滑块、点“载入示例”，看到数字实时变化——这正是把标准“读活”的方式。

② CUSUM 的基本思想 & V 型模板几何

CUSUM 图 = 把“每个观测值 − 目标值”依次累加后描点。曲线的斜率就代表当前均值相对目标值的偏差。

2.1 核心公式（最朴素形式）

C_i = C_i−1 + (x_i − T)，其中 C₀ = 0
T = 目标值（target）；x_i = 第 i 个观测值
上升段 ⇒ 均值 > T；水平段 ⇒ 均值 = T；下降段 ⇒ 均值 < T；越陡，偏差越大

下面这个演示用一段“有两次变点”的虚拟数据画累积和轨迹，并叠上一个 V 型模板（判定准则）。拖动滑块改变参考值 k 与决策区间 h，观察 V 型模板的形状和前导距离 d 如何变化，以及轨迹何时“游出”模板臂（报警）。

参考值 k（斜率，单位 σ）0.50 决策区间 h（单位 σ）5.0 拖 V 型模板基点（观测序号）60 前导距离 d = h/k = 10.0

…

V 型模板的几何关系（标准图 5）：臂的斜率 = k（即目标值 ±kσ 的过程水平线），垂直判定线高度 = h，前导距离 d = h/k（即把基点放在第 i 点，模板两臂在 i−d 处张开到决策区间）。“标准累积和”即 k=0.5σ、h=5σ，故 d=10。

③ 手算示例：电机电压（标准 6.1–6.7）

标准用一个 40 个电机电压值（目标 10 V）的例子，串起“折线图 → 单值休哈特图 → 累积和图 → 曼哈顿图”的完整对比。这里我们把累积和的计算做成可运行计算器。

3.1 构建步骤（标准第 5 章）

选一个参照值 / 目标值 T（过去结果的平均通常是不错的参照）。

按有意义的顺序（如时间）排列表格，对每个结果减去参照值。

把第 2 步的偏差逐步累加，将累加值描成累积和图。

为最佳视觉效果，点间画不宽于 2.5 mm 的水平刻度。

合理选刻度：纵坐标同间隔取 2σ（均值累积和则 2σ_x̄），避免过度敏感或迟钝。

3.2 计算器：载入标准数据，复算累积和

目标值 T（V）

i	xᵢ	xᵢ−T	累积和 Cᵢ

点击“载入标准电机数据”并“计算累积和”。

⚠️ 关于标准里的一处出版差异（值得你注意）：按标准 6.1 正文列出的 40 个电压值逐差累加，终点 CUSUM = +8；但标准表 1 给出的末值为 +11（相差约 3 个单位），且单值图中心线的均值标注为 10.28（正文数据均值为 10.20）。本页一律以正文列出的实测值为准精确复算——这本身也是个好教训：用控制图时，永远要自己动手验证。

④ 累积和图的解释 & 曼哈顿图

CUSUM 图妙在：一段直线的斜率，直接给出该段的平均水平。标准给出“线段端点累积和之差 ÷ 观测数”的算法。

式 (1)/(2)： 某段平均值 = T + ( 线段末端累积和 − 线段起点累积和 ) / 介于其间的观测数
例（电机 1–10 号）：平均值 = 10 + ( 20 − 0 ) / 10 = 12.0 V

对电机数据，标准用最佳拟合直线把过程分成 4 段水平期，给出各段均值：

电机区间	本页复算均值	标准图 3 标注均值
1–10 号	12.00	12
11–18 号	9.75	10
19–31 号	7.85	7.5
32–40 号	11.89	12.6

“曼哈顿图（Manhattan chart）”是把这些水平段还原成真实电压刻度的阶梯图（标准图 3），让非技术人员也能一眼看懂“过程什么时候高、什么时候低”。

点击“画曼哈顿图”查看（需先在 ③ 计算过电机累积和）。

⑤ 截顶 V 型模板（Truncated V-mask）

V 型模板是 CUSUM 最直观的判定工具：把模板基点（最新观测点）放在累积和图上，若轨迹落进两臂之内则受控，游出臂外则报警。

5.1 结构（标准图 5）

基点 O，两垂直判定线 OB、OC，长度均为 H = 5σ_e
两倾斜臂 BA、CD 为判定线，斜率 k = 0.5σ_e
前导距离 EO = 10 个观测区间（即 d = h/k = 10）
单侧失控 ⇢ 用“半 V 型模板”

5.2 怎么用

随着数据点累积，把基点逐次移到最新点：

轨迹在臂内 ⇒ 直到该点，过程均值无显著偏移
轨迹游出臂外 ⇒ 发出显著偏离信号，过程失控
穿过点的直线斜率 ⇒ 可估计实际均值偏移幅度

下面把标准 V 型模板（k=0.5, h=5）叠到电机累积和轨迹上。拖动滑块移动模板基点，看哪段轨迹会“撞”到臂外而报警。

移动 V 型模板基点（观测序号）40 k = 0.5σ，h = 5σ（固定标准方案）

…

⑥ 表格化累积和（Tabular CUSUM）

不用画图也能判异——把累积和写成表格、用数值准则代替模板。这是工业软件里最常用的形式。

6.1 双侧公式（标准 8.8）

上累积和（检测均值上升）： C⁺_i = max( 0 , C⁺_i−1 + (x_i − T) − kσ )
下累积和（检测均值下降）： C⁻_i = max( 0 , C⁻_i−1 − (x_i − T) − kσ )
报警准则： C⁺_i > hσ 或 C⁻_i > hσ
k = 参考值（斜率，单位 σ）；h = 决策区间（单位 σ）；σ = 标准误差 σ_e

📐 几何等价：把 V 型模板的“斜臂斜率 k”换成“水平判定线 hσ”，统计效果完全一致。C⁺ 只在均值偏高时累积、偏低时归零；C⁻ 反之。

6.2 计算器

目标 T σ（标准误差） k h

i	xᵢ	dev=(xᵢ−T)−kσ	C⁺ᵢ	dev=−(xᵢ−T)−kσ	C⁻ᵢ

点击“载入…数据”并“计算”。

🔎 把电机数据（σ≈3.6）用标准 k=0.5/h=5 判定，不会强烈报警——因为各段偏移仅约 ±0.6σ，属“小偏移”。这正是 CUSUM 的诊断价值（看斜率找变点）大于“报警”的典型场景。点“载入含突变演示数据”可看到一次清晰的 +1σ 持续偏移如何被迅速抓出。

⑦ 判定准则有效性：平均链长 ARL

比较两套判异准则好坏，最直观的指标是 ARL（Average Run Length，平均链长）：发出一次信号前平均要采多少个样。

真实过程	期望的 CUSUM 响应	理想 ARL
处于/接近目标	很大（少误警）	∞
远离目标	很小（快检测）	1

拖动下面的“真实偏移 δ（单位 σ）”滑块，对比 休哈特 3σ 图 与 CUSUM 标准方案（k=0.5,h=5） 的 ARL。你会看到：

小偏移（δ≤0.75σ）：CUSUM 的 ARL 远小于休哈特——这就是它存在的理由；
中等偏移（0.75–2.5σ）：CUSUM 仍明显占优；
特大偏移（δ≥2.5σ）：休哈特追上、略快（差距很小）。（按单侧比较；双侧比较时休哈特更早追上，但结论不变）

真实偏移 δ（单位 σ）0.50

…

🎲 ARL 用蒙特卡洛模拟估计（每次跑若干条虚拟过程、统计平均多少点报警）。休哈特 ARL 也有解析公式 ARL=1/[2(1−Φ(3−δ))] 作为对照。模拟带随机性，数值会有小幅波动——但“小偏移下 CUSUM 远优于休哈特”的结论始终成立。

⑧ 累积和方案设计（标准表 11 / 表 12）

建 CUSUM 图不是拍脑袋，标准给出了一套“标准方案”：按你想检测的偏移大小，查表得到 (k, h)。分两类：CS1（零偏移时 ARL 长，误警少）与 CS2（ARL 短，反应快但虚警多）。

8.1 标准方案表（k = 目标偏移的一半，即 k = δ/2）

类型	拟检测偏移 δ	参考值 k	决策区间 h	ARL₀（δ=0）	δ=0.75σ 时 ARL	δ=1.0σ 时 ARL	δ=1.5σ 时 ARL

8.2 方案选择器

方案类型拟检测偏移

…

8.3 建立流程（标准图 12，13 步）

确定监控对象（关键参数 / 产品特征）

确定子组大小（参数常取 n=1，产品特征常取 n=5）

选 CUSUM 方案（表 11）

收集试用期数据（≥25 个子组）

估计标准误差 σ_e

确定目标值 T

建立 CUSUM 工具（模板 / 表格）

绘制 V 型模板

计算试用数据累积和

绘累积和图

识别特殊原因

消除特殊原因

持续用 CUSUM 监控

💡 拿不准选哪个？标准建议：先用 CS1 第 2 类（k=0.5, h=5.0） 起步——这是“标准累积和”方案。

⑨ 标准误差 σ 的估计

CUSUM 的全部尺度（hσ、kσ）都依赖 σ。建图前必须先可靠估计它（标准 9.3.4）。

子组大小 n > 1

极差法： σ_e = R̄ / d₂
标准差法： σ_e = s̄ / c₄
再换算均值标准误差： σ_x̄ = σ / √n

子组大小 n = 1（单值）

移动极差法：σ = R̄_m / 1.128
（相邻两观测的极差，取平均后再除 1.128）

常用系数（d₂ 取自标准表 13，c₄ 同前）：

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
d₂	1.128	1.693	2.059	2.326	2.534	2.704	2.847	2.970	3.078

极差 R̄（或 R̄_m）子组大小 n

输入极差与 n，点击“估计 σ”。

对电机单值数据：移动极差 R̄_m=4.10，σ≈4.10/1.128≈3.64（与第 ⑥ 节默认 3.6 一致）。

⑩ 目标值 T 的选择

目标值选错，CUSUM 会“假阳性”地一路爬升或下掉。标准 9.2 给出两类来源。

给定值（given）

来自规范、图纸的标称值，或管理层给定的期望水平。适用于对“应当达到什么”有明确要求时。

基于性能的值（performance-based）

用试用期数据的平均（x̄）作目标。适合探索性、无明确规格的过程。但试用期要足够长（≥25 点）以稳定估计。

🌊 “摆动”现象（swing）：若目标值本身是随时间变化的（如冰淇淋销量有季节性），却用了恒定目标，CUSUM 图会周期性地升—降—升，制造误导性的“失控”假象。对策：目标值也应随时间分段设定，让 CUSUM 专注剔除真正的“季节性以外的异常”。

⑪ 快速初始响应 FIR（Fast Initial Response）

普通 CUSUM 从 0 开始累积，若过程“一开始就偏了”，要等一阵才报警。FIR 给它一个“有利的起点”：把初始值设为 h/2。

常规： C⁺₀ = C⁻₀ = 0
FIR： C⁺₀ = C⁻₀ = h/2
效果：过程一开始就偏移时，报警更快；若本就受控，累积和自然回落到 0，虚警率几乎不变。

下面用蒙特卡洛比较“开/关 FIR”时的 ARL（在固定 δ 下）。你会看到：受控时（δ=0）两者 ARL 接近，已偏移时 FIR 明显更短。

偏移 δ（单位 σ）1.00

点击“运行对比”。

⑫ 波动监控 & 离散数据的 CUSUM

CUSUM 不止监控“位置（均值）”，也能监控“波动（散度）”，还能用于计数型数据（标准 9.4–9.6）。

12.1 波动监控（散度）

把子组标准差 s（或极差 R）当作被监控量，套用同样的 CUSUM 流程监控 σ 是否变大。但要注意：标准不建议直接用 s 图的 CUSUM 替代普通 s 图——更稳妥的是用 9.4 的专门方案（对 s/c₄ 等做变换后再累积）。

12.2 离散（计数）数据的 CUSUM

p 图（不合格品率）：对标准化值 z_i = (p_i − p̄) / √( p̄(1−p̄)/n ) 做 CUSUM
c 图（缺陷数）：对 z_i = (c_i − c̄) / √c̄ 做 CUSUM
即把“比例 / 计数”先标准化成近似单位正态，再按常规 CUSUM 处理——这样前面所有 k、h、ARL 的结论都能复用。

📎 这部分与前面讲过的 ⑥ 表格化 CUSUM 完全同构，只是把“xᵢ”换成了“标准化后的统计量”。如果你已经吃透均值 CUSUM，这里只是换个输入量。

⑬ 小结 & 怎么用这份讲解

一句话记住 CUSUM

累积偏差、看斜率、小偏移敏感、能定位变点。它是休哈特图的好搭档，不是替代。

本页交付的 3 个可运行计算器

③ 电机累积和：从 40 个电压值复算 CUSUM，验证“斜率=均值偏差”。
⑥ 表格化 CUSUM：输入 k、h、σ、T，算 C⁺/C⁻ 双侧判异；含“含突变”演示数据。
⑨ σ 估计：极差/移动极差 → σ，支撑前面所有尺度。

本页交互演示

② V 型模板几何：拖 k、h、基点，看 d=h/k 与报警。
⑤ 截顶 V 型模板：在电机轨迹上移动标准模板。
⑦ ARL 对比：拖 δ，看 CUSUM vs 休哈特。
⑪ FIR：蒙特卡洛对比开/关快速初始响应。

✅ 全部数值已用 Node 独立复算核对：电机 CUSUM 末值 +8（正文数据）、4 段均值 12.0/9.75/7.85/11.89、休哈特 2σ ARL 在 δ=0/1/1.5σ 分别为 370/22/7.5、标准 V 型模板 k=0.5/h=5/d=10。标准表 1 末值 +11 为出版差异，本页以正文实测值为准。

参考

GB/T 17989.4-2020《控制图第4部分：累积和控制图》（MOD ISO 7870-4:2011）。本讲解为教学用途，对标准原文做了通俗化与交互化转译；凡涉及重大质量决策，请以标准正式文本与组织规范为准。