GB/T 17989.6-2020 指数加权移动平均（EWMA）控制图

① 缘起：为什么还要学 EWMA？

你已学过常规（休哈特）控制图与累积和（CUSUM）图。EWMA 是另一种"带记忆"的控制图，对小幅、持续的偏移尤其敏感，而且对非正态数据更稳健。

常规控制图只看"当前这个点"是否越出 ±3σ 限，对悄悄滑移 0.3σ 的过程要等很久才偶然抓到一个点；CUSUM 把所有偏差严格累加，记忆是" permanent"（调整前永不遗忘）。而 EWMA（Exponentially Weighted Moving Average，指数加权移动平均）取了个折中：它把过去所有数据加权平均，但越久远的数据权重越小（指数递减）——既有记忆，又不会"记仇"一辈子。

📉 一个直觉：想象你在估一条缓慢漂移的温度。单看最新一次读数噪声太大；对所有历史读数取简单平均又会被很久以前的老值拖住。EWMA 的做法是：新估计 = λ×本次读数 + (1−λ)×上次估计。λ 小（如 0.1）表示"我很看重历史、只小幅修正"，适合抓慢漂移；λ 大（如 0.5）表示"我更信眼前"，反应快但对小偏移不敏感。

标准强调：EWMA 对正态假设不敏感（比单值 X 图稳健），因此特别适合子组大小为 1的场合（单个观测就画图）。本讲解顺序：定义与权重 → 控制限 → 两个计量示例 → 参数设计与 ARL → 实施与特性 → 三个应用（计量/不合格品率/不合格数）。

📌 全部交互离线可用。拖动滑块、点"载入示例"，数字实时变化——把标准"读活"。

② EWMA 的定义与权重衰减

公式（1）：zᵢ = λ·xᵢ + (1−λ)·zᵢ₋₁，初始值 z₀ = μ₀（过程目标值）。拖动下面的 λ，看"历史数据的权重"如何随距离衰减。

zᵢ = λ·xᵢ + (1−λ)·zᵢ₋₁ ，　0 < λ < 1（常数）
展开后：zᵢ = λ·xᵢ + λ(1−λ)·xᵢ₋₁ + λ(1−λ)²·xᵢ₋₂ + … + (1−λ)ⁱ·z₀
各观测权重 = λ(1−λ)ʲ（j 为距当前的距离），权重之和 → 1（几何级数）

λ（平滑系数）0.20

当 λ = 1 时，zᵢ = xᵢ，EWMA 退化为单值 X 控制图；λ 越小，记忆越长、对小偏移越敏感（标准建议常用 0.05–0.50，最常见 0.25–0.50）。

③ 控制限公式（时变 vs 稳定值）

EWMA 的方差随 i 变化，所以控制限也"随时间变宽"，最终趋于稳定值。这是 EWMA 与休哈特图最不同的地方。

Var(zᵢ) = σ² · (λ/(2−λ)) · [1 − (1−λ)²ⁱ]
中心线 CL = μ₀
UCLᵢ = μ₀ + L·σ·√(λ/(2−λ))·√[1 − (1−λ)²ⁱ]
LCLᵢ = μ₀ − L·σ·√(λ/(2−λ))·√[1 − (1−λ)²ⁱ]
当 i 很大时，[1−(1−λ)²ⁱ] → 1，控制限趋于稳定值：μ₀ ± L·σ·√(λ/(2−λ))

系数 L 决定置信水平。休哈特取 3σ（99.73%），对应 L=3；EWMA 常用 L=2.7~3.0（λ 小时 L 取 2.6~2.8 更合适）。下面拖 λ 和 L，看控制限的"初始窄、逐渐变宽、最终稳定"过程。

λ0.10 L（倍数）2.70 μ₀ σ

📌 标准明确建议："强烈推荐使用准确的（时变）控制限"。因为初始化后用准确限能显著提升及时发现异常的能力——尤其是对早期的小偏移。

④ 示例①：建立 EWMA 图（标准表1）

已知历史数据：μ₀=50，σ=2.0539，取 λ=0.3、L=3。标准用稳定值控制限作图，全部点受控。把下面数据粘贴进文本框（或点"载入示例"），自己算一遍。

μ₀ σ λ L

✅ 标准结果：UCL=52.5885、LCL=47.4115，20 个点全部落在限内 → 过程受控。本页用全精度计算，z 值与标准表（已对中间值舍入到 5 位）误差 <0.005。

⑤ 示例②：过程监控（标准表2，含 +1σ 偏移）

μ₀=10、σ=1、λ=0.1、L=2.7。前 20 个来自 N(10,1)，后 10 个来自 N(11,1)（均值漂移 +1σ）。用时变控制限，看 EWMA 何时"抓到"这次漂移。

μ₀ σ λ L 限值类型

📌 拖大 λ（如 0.5）再算，会发现报警点提前——大 λ 反应快但抓小偏移差；拖小 λ（如 0.1）则更晚报警但小偏移更敏感。这正是 λ 的权衡。

⑥ 参数选取 λ / L / n 与平均链长 ARL

选 λ 和 L 本质是"想要多快抓到多大的偏移"。标准用 ARL（平均链长）量化：ARL₀=受控时平均多少个点才误报一次（越大越好），ARL₁=发生某偏移时平均多少个点能发现（越小越好）。

标准 表 3 给出 EWMA 与常规图的 ARL 对比（ARL₀ 都设成 370）。规律很清晰：λ 越小，监测小幅偏移越强（δ=0.5 时 ARL 从 14.9 降到 7.6）；大幅偏移时 λ 影响很小。

偏移 δ/√n	常规图	EWMA λ=1.0	EWMA λ=0.5	EWMA λ=0.3	EWMA λ=0.2	EWMA λ=0.1

下面拖动"真实偏移 δ"，用蒙特卡洛实时模拟 EWMA(λ=0.1,L=2.715) 与休哈特(3σ) 的 ARL，直观看小偏移谁赢：

真实偏移 δ（σ 倍数）1.00 EWMA λ0.10

参数设计步骤（标准 5.3）

选 ARL₀（两次虚报间平均样本数），通常 100–1000，据此查 表 4 选列。

定可接受的偏移幅度 δ₁，选对应的 ARL₁，在表中找最接近的 L 与 λ，对应行得 δ₁·√n，反推子组大小 n。

若 n 过大不现实，回到步骤 1 放宽要求（调 ARL₀ / ARL₁ / δ₁）。

标准示例：μ₀=100、σ=0.8、ARL₀=500、要抓 ±1 的偏移（ARL₁=3~4）→ 查表 4 得 L₂=3.05、λ=0.37、δ₁√n=2 → n=(2/1.25)²=2.56→取 3。

📊 标准 表 4（给定 ARL₀/ARL₁/δ 求 L、λ）是设计控制图的"查表工具"。本页的蒙特卡洛图用于直观感受 ARL 规律，与设计表互补——设计仍以表 4 为准。

⑦ 实施 EWMA 控制图的程序

标准第 6 章：EWMA 的实施与其他控制程序相同，前提是"好的历史数据已表明过程受控"。

估计目标值 μ₀：用受控历史数据均值。

估计 σ：用历史数据的标准差 s（注：实务中常用样本标准差 s 作为 σ 的估计）。

选 λ、L（按第 5.3 节或表 4）。

进入监控阶段：对后续每个观测 xᵢ 计算 zᵢ = λxᵢ+(1−λ)zᵢ₋₁。

判异：zᵢ 超出控制限即认为失控，需调整过程。

调整后重置：重新初始化，令 z₀ = μ₀，调整前的数据不再计入（标准强调"EWMA 图初始化时，不考虑调整前的观测数据"）。

⑧ EWMA 对非正态数据不敏感

标准第 7 章：单值控制图和 EWMA 图都可用于子组大小为 1。但单值 X 图对非正态较敏感，设计合理的 EWMA 图对正态假设并不敏感。

原因在公式（3）的展开：EWMA 是所有历史观测的加权平均，根据中心极限定理，加权平均天然更接近正态——所以即使个别 xᵢ 偏离正态，zᵢ 的分布也较稳，控制限不易失准。这也是为什么 EWMA 被推荐用于单个观测的质量特性监控。

✅ 实务含义：当你只能取单件测量（无法组子组），且特性未必严格正态时，优先选 EWMA 而非单值 X 图。

⑨ 优点与局限

✅ 优点

a) 使用之前所有观测，权重随久远程度指数递减；可调 λ 影响"记忆长短"。

b) 对非正态分布更稳健（见第 8 节）。

c) 对小偏移敏感，且能较平滑地呈现趋势。

⚠️ 局限

a) 监测大幅、突发偏移不如常规图及时——标准建议EWMA 与常规图联合使用，同时抓小偏移和大偏移。

b) λ 太小时，生产早期对小偏移更敏感，但一旦形成趋势，与其他图一样不会自动"复位"。

💡 标准原文建议你这样用：把控制限较宽的常规图 + EWMA 图叠在一起看，一个抓"猛变"，一个抓"潜移"。

⑩ 附录 A：装药量过程（n=2 的计量 EWMA）

向 100ml 药瓶装药，目标 μ₀=100、σ₀=0.1、取 λ=0.52、L₂=3.07、子组 n=2。当 n>1 时，EWMA 作用在子组均值上，σ 用 σ/√n。标准在第 10 个样本发现均值偏移。

μ₀ σ₀ λ L n

✅ 标准结果：UCL=100.129、LCL=99.871；第 10 个样本 z=100.130 略超上限 → 报警，极差图（离散程度）未变 → 确认是均值偏移。本页用全精度，第 10 点同样判异。

⑪ 附录 B：不合格品率 p 的 EWMA 控制图

监控焊接过程不合格品率：p₀=0.01945、子组 n=1600、取 λ=0.54、L₂=2.98、ARL₀=370，要求不合格品率达 0.028 时快速发现。

zᵢ = λ·pᵢ + (1−λ)·zᵢ₋₁ ，z₀ = p₀
σ_p = √[p₀(1−p₀)/n]　（子组大小 n 时，用 比例的标准差，非单件）
UCL = p₀ + L·√(λ/(2−λ))·σ_p ，　LCL = p₀ − L·√(λ/(2−λ))·σ_p

注意：标准正文写的 s₀=√(p₀(1−p₀))=0.1381 是单件标准差，但控制限实际按 √(p₀(1−p₀)/n) 算（或等价地用计数 dᵢ=n·pᵢ 构造、参数乘 n）。下面计算器用正确公式实现。

p₀ n（子组大小） λ L

📌 标准表给 UCL=0.0250、LCL=0.0132（计数版 UCL=41、LCL=21，z₀=31）。本页用正确公式算得 UCL≈0.0257、LCL≈0.0132——与标准基本一致（中间量取整差异 <0.001）。构造等价计数图时，p₀、z、σ、UCL、LCL 全部乘 n。

⑫ 附录 C：不合格数 c 的 EWMA 控制图

监控不合格数：c₀=10、取 λ=0.26、L₂=2.90、ARL₀=370，要求平均不合格数达 15 时快速发现。（n=1，单计数）

zᵢ = λ·cᵢ + (1−λ)·zᵢ₋₁ ，z₀ = c₀
σ_c = √c₀
UCL = c₀ + L·√(λ/(2−λ))·σ_c ，　LCL = c₀ − L·√(λ/(2−λ))·σ_c

同样可用于"单位不合格数 u"：只需把 c、c₀、cᵢ 换成 u、u₀、uᵢ。还可加单侧 EWMA 监控"质量是否提升"。

c₀ λ L

✅ 标准结果：σ_c=√10=3.16，UCL=13.54、LCL=6.46。本页用全精度得 UCL=13.54、LCL=6.46，完全吻合。

⑬ 小结：EWMA 一页速查

要点	内容
核心公式	zᵢ = λxᵢ + (1−λ)zᵢ₋₁，z₀=μ₀
控制限	μ₀ ± L·σ·√(λ/(2−λ))·√[1−(1−λ)²ⁱ]（时变）；稳定值 μ₀ ± L·σ·√(λ/(2−λ))
λ 取舍	小→记忆长、抓小偏移强但反应慢；大→反应快、抓大偏移好。常用 0.05–0.50，最常见 0.25–0.50
L 取舍	通常 3；λ 小时取 2.6–2.8。ARL₀ 一般设 100–1000
与休哈特	小偏移 EWMA 远快；大偏移休哈特更及时 → 建议联合使用
非正态	对正态不敏感，适合子组 n=1 的单件测量
属性扩展	p-EWMA（用 √(p₀(1−p₀)/n)）、c-EWMA（用 √c₀）；z₀ 取目标值，调整后要重置

🎓 三册连读建议：常规图(②) → CUSUM(④) → EWMA(⑥)。三者互补：常规图抓大偏移、CUSUM 精确定位变点、EWMA 对小偏移稳健且对非正态友好。