案例：CUSUM 提前 3 天发现刀损
一、先讲个真事
发动机厂精镗缸孔，φ80.000±0.020 mm，CBN 镗刀，标称寿命 3000 件。检测方式是每班送一件到计量室做三坐标全尺寸，一天三个点。
这个工位一直挂着单值休哈特图，控制限按稳定期数据算的 79.988～80.012。三年下来图很好看，几乎不报警，大家挺满意。
后来我们在同一套数据上并行跑了一张 CUSUM。第 45 班，CUSUM 的下侧累积和冲破决策区间报警。班组长看休哈特图——点子好好地待在限内，离下限还差一截，规格更是宽得很，79.9944 距离下差 79.980 还有 0.0144 mm。谁也不愿意为一张"新图"停机换刀。
我们坚持要求做刀具检查。拆下来看，后刀面磨损带 VB 已经到 0.22 mm，刀尖有明显退让。换刀，孔径回到 80.000。
后续把数据补完整：如果不换刀，休哈特图要到第 54 班才会有点子跌破 LCL。9 个班，3 天。这 3 天里过程一直在往下走，虽然还没出废品，但已经在啃能力余量了——Cpk 从 1.67 掉到 1.20。
老师傅后来跟我说了句实在话："休哈特图是等你摔下来才喊，CUSUM 是看你脚下打滑就喊。"
二、核心知识点拆解
2.1 CUSUM 到底累积了什么
休哈特图判异只看当前这一个点，前面 20 个点是什么样，它一概不记。这就注定它对小偏移迟钝：偏移 1σ 时，每个点超限的概率仍然很低，你得平均等 44 个点。
CUSUM（累积和）换了个思路：把每个点相对目标值的偏离量攒起来。单个偏离不起眼，攒够了就藏不住。
工程上用的是表格法双侧 CUSUM：
``` Cᵢ⁺ = max[ 0 , xᵢ − (μ₀ + K) + Cᵢ₋₁⁺ ] Cᵢ⁻ = max[ 0 , (μ₀ − K) − xᵢ + Cᵢ₋₁⁻ ]
初值 C₀⁺ = C₀⁻ = 0 当 Cᵢ⁺ > H 或 Cᵢ⁻ > H 时判异 ```
两个参数：
- K（参考值/松弛量）：K = k·σ，取 k = δ/2，δ 是你希望快速检出的偏移量（单位σ）。想抓 1σ 偏移，就取 k=0.5。K 的作用是"扣掉正常波动的免赔额"，过程正常时累积和会被压回 0。
- H（决策区间）：H = h·σ，常取 h=4 或 5。h 越大越不容易误报，但检出越慢。
工程上最通用的一组是 k=0.5、h=5，对应 ARL₀ ≈ 465（受控时平均 465 点才误报一次），对 1σ 偏移的 ARL₁ ≈ 10.4。
2.2 ARL 对照：什么时候该换武器
选图的唯一硬指标是 ARL（平均运行长度）。受控时 ARL₀ 越大越好（少误报），失控时 ARL₁ 越小越好（快检出）。
| 偏移 δ（σ 单位） | 休哈特 I 图（仅 3σ 准则） | CUSUM（k=0.5, h=5） | EWMA（λ=0.2, L=3） |
|---|---|---|---|
| 0（受控） | 370 | 465 | 500 |
| 0.5σ | 155 | 38.0 | 41 |
| 1.0σ | 43.9 | 10.4 | 11 |
| 1.5σ | 15.0 | 5.75 | 6.1 |
| 2.0σ | 6.30 | 4.01 | 4.2 |
| 3.0σ | 2.00 | 2.57 | 2.6 |
看最后一行：偏移到 3σ 这种大跳变，休哈特反而更快（2.00 < 2.57）。这不奇怪——CUSUM 要攒，攒需要时间；休哈特只看当下，大跳变一眼就见。
所以结论很明确：CUSUM 和休哈特不是替代关系，是分工关系。小漂移（刀具磨损、砂轮钝化、电极烧损、温度爬升）交给 CUSUM，大跳变（换错料、装夹失误、程序调错）交给休哈特，两张图挂在同一个屏上并行看。
2.3 报警之后：偏移从哪一班开始的
这是 CUSUM 最被低估的一个功能。报警只告诉你"出事了"，追溯范围却决定了要拦多少货。CUSUM 能直接算出偏移起点：
``` 偏移起始点 = i − N⁻ + 1 ```
N⁻ 是报警时刻 C⁻ 连续保持非零的点数（正侧同理用 N⁺）。偏移后的实际均值也能估：
``` μ̂ = μ₀ − K − C⁻ / N⁻ （下侧） μ̂ = μ₀ + K + C⁺ / N⁺ （上侧） ```
有了起点，追溯就从"全批扣留"变成"定点扣留"，省下来的钱通常比 SPC 系统本身还贵。
三、车间真实案例 / 计算过程
（1）基线参数
稳定期 30 个班的数据算得：
``` μ₀ = 80.0000 mm ，σ̂ = MR̄/1.128 = 0.0040 mm 休哈特 I 图：UCL = 80.0120 ，CL = 80.0000 ，LCL = 79.9880 规格：79.980 ～ 80.020 ，Cpk 初始 = 0.020/(3×0.004) = 1.67 ```
CUSUM 参数取 k=0.5、h=5：
``` K = 0.5 × 0.0040 = 0.0020 mm → μ₀ − K = 79.9980 H = 5 × 0.0040 = 0.0200 mm ```
（2）第 31–45 班逐点手算（下侧 C⁻）
计算式：C⁻ᵢ = max[0, 79.9980 − xᵢ + C⁻ᵢ₋₁]
| 班次 i | 孔径 xᵢ (mm) | 79.9980 − xᵢ | C⁻ᵢ | 休哈特是否报警 |
|---|---|---|---|---|
| 31 | 79.9992 | −0.0012 | 0 | 否 |
| 32 | 79.9975 | +0.0005 | 0.0005 | 否 |
| 33 | 79.9986 | −0.0006 | 0 | 否 |
| 34 | 79.9968 | +0.0012 | 0.0012 | 否 |
| 35 | 79.9973 | +0.0007 | 0.0019 | 否 |
| 36 | 79.9981 | −0.0001 | 0.0018 | 否 |
| 37 | 79.9962 | +0.0018 | 0.0036 | 否 |
| 38 | 79.9970 | +0.0010 | 0.0046 | 否 |
| 39 | 79.9958 | +0.0022 | 0.0068 | 否 |
| 40 | 79.9966 | +0.0014 | 0.0082 | 否 |
| 41 | 79.9955 | +0.0025 | 0.0107 | 否 |
| 42 | 79.9963 | +0.0017 | 0.0124 | 否 |
| 43 | 79.9948 | +0.0032 | 0.0156 | 否 |
| 44 | 79.9957 | +0.0023 | 0.0179 | 否 |
| 45 | 79.9944 | +0.0036 | 0.0215 > H=0.0200 → 报警 | 否 |
（3）定位偏移起点与偏移量
C⁻ 从第 34 班起连续非零，到第 45 班报警，所以：
``` N⁻ = 45 − 34 + 1 = 12 偏移起始班次 = 45 − 12 + 1 = 34 μ̂ = 80.0000 − 0.0020 − 0.0215/12 = 79.9980 − 0.00179 = 79.9962 mm ```
拿第 34～45 班的实测值直接求平均验证：
``` 实测均值 = 79.99621 mm ```
估计值 79.9962 和实测 79.99621 几乎重合，说明这个估计方法是靠谱的。偏移量 80.0000 − 79.9962 = 0.0038 mm，正好约 1σ。
（4）休哈特什么时候才报
不换刀继续跑，孔径按约 0.0008 mm/班 的速率下滑：
| 班次 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 孔径 | 79.9940 | 79.9932 | 79.9925 | 79.9918 | 79.9910 | 79.9903 | 79.9896 | 79.9888 | 79.9879 |
第 54 班首次跌破 LCL=79.9880，休哈特报警。
``` CUSUM 报警：第 45 班 休哈特报警：第 54 班 提前量 = 9 个班 = 3 天（三班制） ```
（5）这 3 天值多少钱
| 时间点 | 孔径 | Cpk_L =(x−79.980)/(3σ) | 状态 |
|---|---|---|---|
| 第 30 班（稳定） | 80.0000 | 1.67 | 能力充足 |
| 第 45 班（CUSUM 报警） | 79.9944 | 1.20 | 尚有余量，无废品 |
| 第 54 班（休哈特报警） | 79.9879 | 0.66 | 余量耗尽，再跑 10 班必出废品 |
追溯这一块的收益更直观：没有起点定位，得从上一次刀具更换（第 20 班）开始全部扣留，约 2100 件；有了"第 34 班"这个起点，只扣第 34 班之后的约 750 件。少复检 1300 多件。
四、常见误区提醒
- k 和 h 拍脑袋乱设。 见过有人把 h 设成 2，图天天报警，一个月就没人看了；也见过 h 设 10，等于没装。k 必须按你要检出的偏移定（k = δ/2），h 按可接受的误报频率定（常规 h=4～5），设定依据要写进控制计划，不能凭手感。
- 上了 CUSUM 就把休哈特撤了。 从 ARL 表能看到，δ≥2.5σ 之后休哈特反而更快，而换错料、装夹失误这类大跳变恰恰就是大偏移。两张图并行，各管一段，撤掉任何一张都是给自己留缺口。
- μ₀ 和 σ 直接用全历史数据算。 这是最常见的技术性错误。如果历史数据里本来就含着漂移，算出来的 σ 会被撑大，K 和 H 跟着变大，CUSUM 的灵敏度当场归零。基线必须取自验证过受控的那一段，σ 用 MR̄/1.128 而不是整体标准差。
五、小结 & 互动提问
CUSUM 不玄，就两个公式、两个参数，Excel 拉一列就能算。它值钱的地方在两处：对 1σ 上下的小漂移比休哈特快四倍，报警后还能反推偏移起点，把追溯成本压下来。
咱做质量的，最怕的从来不是"突然坏了"，而是"一直在慢慢坏，还没人喊"。CUSUM 就是专门对付后面这种的。
互动提问：你车间有哪些参数是"慢性病"型的——刀具磨损、砂轮钝化、镀液浓度衰减、模具型腔磨损？挑一个，把历史数据倒进 Excel 按 k=0.5、h=5 跑一遍，看看 CUSUM 会比现在的图提前多少个点报警？
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