CUSUM 累积和控制图：小漂移猎手
一、先讲个真事
做液压阀体的一条线，深孔钻加工先导孔，图纸 φ12H7，规格 12.000～12.018 mm。我们内控收紧到 12.000±0.012，操作工每小时测一件，走单值-移动极差图，控制限算下来是 11.988～12.012。
那两周的图干干净净，没有出界点，也没有连续七点上升这种一眼能看出来的趋势。原因很朴素：漂移太小了，不到一个 σ，被随机波动整个盖住。等客户装配线反馈"阀芯往里推有点涩"，我们才回头翻数据。
把六十个点导进 CUSUM 一算，结果挺扎心：从第十一个点开始，均值就已经从 12.000 悄悄爬到 12.004 附近，正好一个 σ 的量。休哈特单值图对这种量级的偏移，平均要四十几个点才可能报一次警；CUSUM 只用了五个点就把手举起来了。
说白了，休哈特图是个健忘症患者——它每次只看当前这一个点，看完就忘。上一个点偏高、这一个点也偏高，在它眼里是两件互不相干的事。 CUSUM 不一样，它把每次的小偏差都记在账本上，攒着攒着就攒出信号来了。这就是我叫它"小漂移猎手"的原因。
二、核心知识点拆解
2.1 休哈特为什么抓不住小漂移
衡量一张控制图灵不灵，行内用的指标叫平均运行长度 ARL：过程没问题时，平均隔多少个点误报一次，记作 ARL₀，越大越省心；过程真出了偏移时，平均要多少个点才能报警，记作 ARL₁，越小越灵敏。
单值图的 3σ 限，本质上是一个"单点越界"的判据。均值偏了 1σ 之后，一个点跑到上限外的概率只有 2.28%，倒过来算，平均得等四十四个点。你想想，一小时测一件，四十四个点就是接近两个班——两个班的活可能都出完了。
| 均值偏移量 | 休哈特 I 图 ARL₁ | CUSUM(k=0.5, h=5) ARL₁ |
|---|---|---|
| 0σ（无偏移） | 370（误报间隔） | 465（误报间隔） |
| 0.5σ | 155 | 38 |
| 1.0σ | 44 | 10.4 |
| 1.5σ | 15 | 5.8 |
| 2.0σ | 6.3 | 4.0 |
| 3.0σ | 2.0 | 2.2 |
这张表要横着读：小偏移那几行，CUSUM 快出一个数量级；到了 3σ 大跳变那一行，两者基本打平，休哈特甚至还快一丁点。结论很清楚——CUSUM 不是来取代休哈特的，它是来补位的。 大的突发异常交给休哈特，缓慢的系统性漂移交给 CUSUM。
2.2 CUSUM 的算法：把偏差记进账本
现在车间里用的都是表格型 CUSUM，比老式的 V 型模板直观太多。两个累积量，一个盯上偏、一个盯下偏：
``` C⁺ᵢ = max[ 0 , xᵢ − (μ₀ + K) + C⁺ᵢ₋₁ ] C⁻ᵢ = max[ 0 , (μ₀ − K) − xᵢ + C⁻ᵢ₋₁ ] ```
拆开讲讲这几个符号：
μ₀ 是过程的目标均值，得从稳态历史数据里来，不能拿图纸中值凑数。K 叫参考值，也叫松弛量，通常取 K = 0.5σ，含义是"半个 σ 以内的偏差我不跟你计较"。H 叫决策区间，通常取 H = 5σ，C⁺ 或 C⁻ 一旦碰到 H 就判异。
那个 max(0, …) 是灵魂。它保证累积量不会掉到零以下——过程正常时，偏差有正有负，账本被反复清零，曲线贴着底线走；过程一旦朝某个方向偏，正的部分持续大于 K，账本就开始只进不出，一路往上顶。这叫单向棘轮，只记同方向的债。
K 和 H 一起决定了这张图的脾气：K 管"多小的偏差算数"，H 管"攒到多少才喊人"。这两个参数怎么调，是下一篇专门要掰扯的事，这里先记住 k=0.5、h=5 这套默认值，对付 1σ 偏移最划算。
2.3 报警之后怎么办：复位与偏移量估计
CUSUM 报警不只是"喊一嗓子"，它还能顺带告诉你偏了多少、从什么时候开始偏的。
看 C⁺ 从零开始连续累积了多少个点，这个计数记作 N⁺，那么偏移发生的时刻大约就在报警点往前数 N⁺ 个点的位置。偏移幅度可以这么估：
``` μ̂ = μ₀ + K + C⁺ᵢ / N⁺ （当 C⁺ 触限时） ```
这个能力很实用。查异常原因的时候，"从三天前的夜班开始偏的"和"这两个小时才偏的"，排查方向完全不同——前者往刀具磨损、地基沉降、季节性温差上想，后者往换刀、换料、换人上想。
处理完原因、调完机之后，累积量必须清零重来，C⁺ 和 C⁻ 都归 0。有人图省事不复位，那本旧账会一直挂在上面，接下来每个点都在虚警，图就废了。
三、车间真实案例：手算一遍那批阀体
回到开头那台深孔钻。稳态期算出来：μ₀ = 12.000 mm，σ = 0.004 mm。取 k=0.5、h=5，那么：
K = 0.5 × 0.004 = 0.002 mm，H = 5 × 0.004 = 0.020 mm
上偏账本的递推式就变成 C⁺ᵢ = max[0, xᵢ − 12.002 + C⁺ᵢ₋₁]。挑十八个点手算：
| 点号 | 实测 xᵢ | xᵢ − 12.002 | C⁺ᵢ | 单值图状态 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 12.001 | −0.001 | 0 | 正常 |
| 2 | 11.998 | −0.004 | 0 | 正常 |
| 3 | 12.003 | +0.001 | 0.001 | 正常 |
| 4 | 11.999 | −0.003 | 0 | 正常 |
| 5 | 12.002 | 0.000 | 0 | 正常 |
| 6 | 11.997 | −0.005 | 0 | 正常 |
| 7 | 12.000 | −0.002 | 0 | 正常 |
| 8 | 12.004 | +0.002 | 0.002 | 正常 |
| 9 | 11.999 | −0.003 | 0 | 正常 |
| 10 | 12.002 | 0.000 | 0 | 正常 |
| 11 | 12.005 | +0.003 | 0.003 | 正常 |
| 12 | 12.007 | +0.005 | 0.008 | 正常 |
| 13 | 12.004 | +0.002 | 0.010 | 正常 |
| 14 | 12.008 | +0.006 | 0.016 | 正常 |
| 15 | 12.006 | +0.004 | 0.020 ← 触限 | 正常 |
| 16 | 12.009 | +0.007 | 0.027 | 正常 |
| 17 | 12.005 | +0.003 | 0.030 | 正常 |
| 18 | 12.010 | +0.008 | 0.038 | 正常 |
逐步讲讲关键几步。第 3 点：12.003 − 12.002 = +0.001，前一账本是 0，所以 C⁺ = 0.001。第 4 点：偏差 −0.003，0.001 − 0.003 = −0.002，负数被 max 拦下，归零。前十个点就这么反复清零，账本一直没攒起来——过程确实稳。
从第 11 点起，工件开始系统性偏大。第 11 点入账 0.003，第 12 点 0.003+0.005=0.008，第 13 点加到 0.010，第 14 点 0.016，第 15 点正好顶到 0.020，等于 H，报警。
再看最右一列：这十八个点，单值图的上控制限是 12.000+3×0.004 = 12.012，最大的一个点才 12.010，一个都没出界，休哈特图全程沉默。
报警之后我们做了两件事。一是估偏移时刻：C⁺ 从第 11 点开始连续累积，N⁺ = 5，往前推五个点，正好落在第 11 点——跟实际吻合。二是估偏移量：μ̂ = 12.002 + 0.020/5 = 12.006，实际重新采样测出来是 12.0055，差得不多。
拆开钻头一看，导向套磨损了 0.05 mm 左右，钻杆有轻微让刀。换套之后重新采集稳态数据、重算限、账本清零，后面再没出过这事。
四、常见误区提醒
- 报警之后不清零账本。 这是新手最容易踩的坑。原因查完、机器调好，C⁺ 和 C⁻ 必须归 0 重新起算。旧债不清，后面每个点都在替历史背锅，图会一直红着，用不了两天大家就当它不存在了。
- 拿规格限当 H 用。 H 是决策区间，单位是累积偏差，不是单件尺寸；它跟公差带没有任何换算关系。我见过有人把 H 设成"公差带的一半"，结果 H 大得离谱，CUSUM 变成了永不报警的摆设。H 只能由 σ 和你想要的 ARL 推出来。
- 过程压根没稳过就上 CUSUM。 μ₀ 和 σ 都得从受控的历史数据里估。过程本身还在到处乱跳、特殊原因一堆，你算出来的 σ 是被污染的大数，CUSUM 会变得又钝又麻木。老规矩：先用休哈特图把过程拉稳，再上 CUSUM 守小漂移。
- 只画 C⁺ 不画 C⁻。 刀具磨损通常只往一个方向走，有人就懒得算下偏账本。可热变形、材料批次变化这类因素是双向的，少一半账本就等于瞎一只眼。
五、小结 & 互动提问
CUSUM 的价值不在于它比休哈特"更高级"，而在于它记性好。休哈特看点，CUSUM 看势。 关键工序、慢性磨损、成本高的批量件，这三个条件占两个，就值得加一张 CUSUM 图守着。
互动提问：你手上有没有那种"客户投诉了、回头查数据却发现控制图全程正常"的工序？如果把那批数据翻出来跑一遍 CUSUM，你猜它会在第几个点抬头？
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