u 图：单位缺陷数，面积不一怎么办
一、先讲个真事
一家做工程机械结构件的焊接厂，超声探伤后记录每台工件的内部缺陷个数（气孔、夹渣、未熔合）。工件规格差异很大，小件焊缝两米出头，大件能到八米多。
他们的图是 c 图，纵轴直接是缺陷个数，一台一个点。结果那张图长得像心电图——大件的点全在上面，小件的点全在下面，UCL 拉得老高，报警从来没响过。
工艺员的判断是"过程受控"。我说不对，这张图根本没在测过程，它在测工件大小。焊缝长的工件缺陷自然多，这是尺寸带来的，不是质量带来的。
把数据换算一下：大件 8.6 米出 18 个，折合每米 2.09 个；小件 2.4 米出 6 个，折合每米 2.50 个。你品品——折合到单位长度，小件反而更差。 原来那张 c 图，把结论完全看反了。
检验单位大小不一，就不该用 c 图。该上的是 u 图：把缺陷数除以检验量，变成"单位缺陷数"。
二、核心知识点拆解
2.1 u 图和 c 图的分界线，就一条
判断标准干脆利落：每个样本的检验量是否恒定。
- 恒定（每次都是同一块板、同一台整机、同样长度的焊缝）→ c 图，直接数个数；
- 不恒定（面积不一、长度不一、每批件数不一）→ u 图，除以检验量。
u 图的核心量是：
``` u = c / n ```
这里的 n 不是"件数"，是"以检验单位度量的样本大小"。这一点特别容易理解错。假如你把检验单位定义为"1 米焊缝"，那么一台 3.2 米焊缝的工件，它的 n 就是 3.2，可以是小数。要是定义为"1 平方米涂层"，那 0.24 m² 的小件，n 就是 0.24。
中心线同样是加权量，不是各 u 的算术平均：
``` ū = Σ c_i / Σ n_i ```
跟 p 图那套逻辑一模一样：检验量大的样本，本来就该占更大权重。
2.2 控制限：又是一条会动的曲线
泊松分布下，单位缺陷数 u 的标准差是：
``` σ_u = √( ū / n ) ```
所以：
``` UCL = ū + 3 √( ū / n ) CL = ū LCL = ū − 3 √( ū / n ) （负数取 0） ```
n 在分母根号下，n 一变限就变，和 p 图一个道理，画出来又是阶梯状。小件（n 小）的限宽，大件（n 大）的限窄。这符合直觉：只探了 2.4 米，样本量小，波动本来就大，不该拿大件的严标准去卡它。
LCL 什么时候能大于 0？推一下：
``` ū − 3√(ū/n) > 0 ⟺ ū·n > 9 ```
ū·n 就是这个样本的期望缺陷数。 换句话说，跟 c 图那条规律完全一致——期望缺陷数得超过 9，图才有向下报警的本事。
2.3 检验单位定 1 米还是 0.5 米：其实无所谓
这是个高频提问，答案可能出乎意料：改变检验单位的定义，不改变任何判异结论。
推一下就明白。假设把检验单位从"1 米"改成"0.5 米"，那所有 n 都翻倍变成 n' = 2n，所有 u 都减半变成 u' = u/2，中心线 ū' = ū/2。代进公式：
``` UCL' = ū/2 + 3√( (ū/2) / (2n) ) = ū/2 + (3/2)√(ū/n) = UCL / 2 ```
整张图等比例缩放了一半，点和限的相对位置纹丝不动。所以定 1 米还是 0.5 米，纯粹是看哪个数好读、好写。 我一般建议让 ū 落在 1–10 之间，太小了小数点后一串零，太大了没必要。
那想提高灵敏度怎么办？唯一有效的办法是加大每个样本的实际检验量 n，而不是玩单位定义。比如把"每台工件一个点"改成"每三台合并成一个样本"，n 从 3.2 变成 9.6 左右，ū·n 就有机会过 9，LCL 才出得来。这一招和第 34 篇讲的"放大检验单位"是同一个物理动作，只是在 u 图里体现为 n 变大。
三、车间真实案例：焊缝探伤，10 个样本手算
规定：检验单位 = 1 米焊缝，n 取该工件的实际焊缝总长（米），c 为探伤检出的缺陷总数。连续 10 台：
| 序号 | 焊缝长 n（m） | 缺陷数 c | u = c/n（个/米） |
|---|---|---|---|
| 1 | 3.2 | 7 | 2.19 |
| 2 | 5.8 | 11 | 1.90 |
| 3 | 2.4 | 6 | 2.50 |
| 4 | 7.5 | 15 | 2.00 |
| 5 | 4.6 | 9 | 1.96 |
| 6 | 8.6 | 18 | 2.09 |
| 7 | 3.8 | 8 | 2.11 |
| 8 | 6.2 | 12 | 1.94 |
| 9 | 2.8 | 15 | 5.36 |
| 10 | 5.1 | 10 | 1.96 |
| 合计 | 50.0 | 111 | — |
第一步，中心线。
``` ū = Σc / Σn = 111 / 50.0 = 2.22 （个/米） ```
第二步，逐样本算限。挑三个代表：
样本 6（n = 8.6，最长）： ``` √( ū/n ) = √( 2.22 / 8.6 ) = √0.2581 = 0.5081 3σ = 1.524 UCL = 2.22 + 1.52 = 3.74 LCL = 2.22 − 1.52 = 0.70 ``` 注意这台的 LCL 是正的——因为 ū·n = 2.22×8.6 = 19.1 > 9。
样本 3（n = 2.4，最短）： ``` √( 2.22 / 2.4 ) = √0.9250 = 0.9618 3σ = 2.885 UCL = 2.22 + 2.89 = 5.11 LCL = 2.22 − 2.89 < 0 → 0 ``` ū·n = 5.33 < 9，下限没了。
样本 9（n = 2.8）： ``` √( 2.22 / 2.8 ) = √0.7929 = 0.8904 3σ = 2.671 UCL = 2.22 + 2.67 = 4.89 ， LCL = 0 ```
第三步，判。样本 9 的 u = 5.36 > 它自己的 UCL = 4.89，出界报警。其余九台都在各自限内（样本 3 的 2.50 看着高，但它的 UCL 是 5.11，没超）。
第四步，追因。样本 9 是那天下午第一台，用的是新拆封的一盘焊丝。查库存记录，那盘焊丝在露天暂存区放了两周，受潮，焊缝气孔密集。烘干处理后复探，第 11 台回到 2.1 个/米。
回头看开头那句"18 个气孔的大件质量差"——它折合 2.09 个/米，反而是全场偏好的水平。真正有问题的是那台只有 2.8 米、却出了 15 个缺陷的小件。 这就是 u 图和 c 图的差别。
四、常见误区提醒
- 把 u 图的 n 当成"件数"。n 是以检验单位度量的样本大小，允许是小数（3.2 米、0.24 m²）。有人非要把 n 取整成"3 米"，40 台下来累计误差相当可观，中心线直接偏。
- ū 用各样本 u 的算术平均。必须用 Σc / Σn 这个加权值。 直接平均会让小件的高 u 值被过度放大，中心线偏高，后面所有限跟着错——本案例若用算术平均，ū = 2.40 而非 2.22，样本 9 的 UCL 会被抬到 5.08，报警照样有，但换个数据集就可能漏掉。
- 改检验单位定义来"提高灵敏度"。没用，整张图只是等比缩放。 想让 LCL 抬离零轴，只能加大每个样本的实际检验量，让 ū·n 过 9。
- 面积/长度差异很小就懒得用 u 图。这个可以放宽，但要有量化标准：各样本 n 都在 n̄ 的 ±25% 内，可以按 n̄ 算固定限画直线；超出这个范围还画直线，就是拿一把尺子量所有人。
五、小结 & 互动提问
u 图干的事就一句话：把"数出来的缺陷"折算到统一的尺子上，让大件小件、长焊缝短焊缝能站在一起比。它的限跟 p 图一样随 n 起伏，中心线跟 p 图一样是加权值，判异门槛跟 c 图一样卡在期望缺陷数 9 上——模块四这几张图，内在逻辑其实是通的。
互动提问：你手上那张缺陷类的控制图，各样本的检验量（面积、长度、件数）真的一样吗？如果不一样，你现在的中心线是拿 Σc/Σn 算的，还是把每个点的 u 直接平均出来的？
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