正态性检验（17989 附录）：数据正态吗
一、先讲个真事
那是一道磨削工序，管的是外圆圆跳动，规格只有上限 0.040 mm，越小越好。
质量员每月出报告，Cpk 稳稳当当在 1.3~1.5，年年绿灯。可装配线那边隔三差五就挑出跳动超差的件，退回来一统计，超差率长期在千分之二左右。
两边的数字对不上，会开了三次。有人怀疑量具，做了 GRR，%GRR 只有 9.8%，量具没问题；有人怀疑抽样，把抽样频次翻倍，Cpk 还是那个 Cpk。
后来我把三个月的原始数据拉出来，画了张直方图——一看就明白了：那根本不是钟形，是个右边拖着长尾巴的坡。圆跳动这种"下有硬边界（不可能小于 0）、上不封顶"的特性，天生就是偏态的。
用正态公式去算它的尾部概率，等于拿一把量直线的尺去量弧线。Cpk 没错，错的是把 Cpk 翻译成 ppm 的那一步。
二、核心知识点拆解
2.1 为什么 SPC 死死咬着"正态"不放
咱们平时用的两样东西，都建在正态假设上：
（1）控制限的 ±3σ。 常规控制图的 3σ 限，对应的虚发警报率 0.27%（约每 370 个点误报一次）。这个 0.27% 是从正态分布表上查出来的。数据一偏态，实际虚发警报率就变了——偏态方向那一侧频繁误报，另一侧漏报。
（2）Cpk 到 ppm 的换算。 Cpk = 1.33 ↔ 63 ppm、Cpk = 1.67 ↔ 0.6 ppm 这些对照关系，全靠正态分布的尾部积分。分布形状一变，尾部概率就是另一个世界。
有意思的是，两件事对正态的敏感程度差别很大：
| 用途 | 对非正态的敏感度 | 原因 |
|---|---|---|
| Xbar 图 | 低 | 中心极限定理，子组均值趋近正态（n≥4 基本够用） |
| 单值 X-MR 图 | 高 | 单个值直接反映原始分布，没有平均化保护 |
| R 图 / s 图 | 中 | 极差分布本身就偏态，但常数表已考虑 |
| Cpk / ppm 换算 | 极高 | 算的是尾部 3~5σ 处的概率，那正是分布差异最大的地方 |
说白了：画 Xbar 图你可以不那么较真，但只要算能力指数、报 ppm，正态性就必须先验一验。 这也是 GB/T 17989 系列在能力评定相关附录里反复强调"分布假定必须先确认"的原因。
2.2 图形法：先用眼睛看
统计检验之前，先看图。图能告诉你"哪里不正态"，检验只告诉你"是不是"。
（1）直方图 + 正态叠加曲线。 最直观，但对样本量敏感，n < 50 时形状很不稳，别过度解读。
（2）正态概率图（Q-Q / P-P 图）。 这是主力工具。做法是把数据从小到大排序，第 i 个点的累积概率用中位秩估计：
P_i = (i − 0.3) / (n + 0.4)
再把 P_i 反查标准正态得到 z_i，以 x_i 为横轴、z_i 为纵轴画散点。数据若服从正态，这些点应该落在一条直线上。
判读口诀：
| 图形特征 | 分布含义 |
|---|---|
| 点沿直线 | 正态 |
| 下凹（左段陡、右段缓） | 右偏（长尾在右） |
| 上凸（左段缓、右段陡） | 左偏 |
| 两端同时偏离直线上翘/下弯（S 形） | 厚尾 / 混合分布 |
| 中间一段有台阶或断层 | 分层数据（两个总体混在一起） |
| 若干孤点远离直线 | 离群值，先查特殊原因 |
2.3 统计检验法：用数字说话
图看完了，再上检验。常用的四种：
| 检验 | 适用样本量 | 特点 |
|---|---|---|
| Anderson-Darling (AD) | n ≥ 8 | 对尾部最敏感，做能力分析首选 |
| Shapiro-Wilk (W) | 3 ≤ n ≤ 50（可扩展） | 小样本功效最高 |
| Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors) | n ≥ 20 | 对中间部分敏感，尾部功效弱 |
| 卡方拟合优度 | n ≥ 50 | 需分组，分组方式影响结论 |
AD 统计量的定义：
A² = −n − (1/n) · Σᵢ₌₁ⁿ (2i−1)·[ ln F(x₍ᵢ₎) + ln(1 − F(x₍ₙ₊₁₋ᵢ₎)) ]
参数未知时要做小样本修正：
A*² = A² · (1 + 0.75/n + 2.25/n²)
α = 0.05 时临界值 0.752（A*² > 0.752 则拒绝正态）。
判定规则：p > 0.05 → 不拒绝正态假设。 注意措辞——是"不拒绝"，不是"证明它正态"。这两者差着一个逻辑上的鸿沟。
样本量陷阱，必须记住：
- n 很大（>500）时，任何鸡毛蒜皮的偏离都会被判"显著非正态"，p 值一路奔零。这时候要看图形和实际影响，别机械地看 p。
- n 很小（<25）时，检验功效低，什么妖魔鬼怪都能通过。 一份 n = 15 的数据"通过正态检验"，几乎不能说明什么。
所以我一直跟工程师说：p 值是参考，图形是证据，工艺机理是判官。 一个下有 0 边界的几何特性，就算 p = 0.4 通过了检验，我也倾向于按非正态处理——因为机理告诉我它不可能对称。
2.4 非正态了，接下来怎么办
按这个顺序走，别跳步：
第一步：查特殊原因。 很多"非正态"其实是混料、换刀、多模穴、多设备混在一起造成的。分层之后各自可能都很正态。这一步能解决一半以上的案例，而且是唯一"免费"的一步。
第二步：确认边界机理。 圆跳动、粗糙度、平面度、垂直度这类形位公差，还有污染物计数、泄漏率、磨损量，天生单边有界、天生右偏。这不是异常，是物理规律，别硬掰。
第三步：数据变换。 常用对数变换（右偏首选）、Box-Cox 变换（自动搜最优 λ）、Johnson 变换（适应面最广）。变换后重新检验正态，再在变换后的尺度上算能力指数。
第四步：直接拟合非正态分布。 Weibull（寿命、强度）、对数正态（几何误差、粒径）、Gamma 等，用分位数法算能力：
Cpk = min[ (USL − X₅₀) / (X₉₉.₈₆₅ − X₅₀) , (X₅₀ − LSL) / (X₅₀ − X₀.₁₃₅) ]
这就是 ISO 22514 系列里的分位数法思路——用实际分布的 0.135% / 50% / 99.865% 三个分位数，去替代正态的 −3σ / μ / +3σ。分布正态时两者结果完全一致，非正态时才见真章。
三、车间真实案例：一组圆跳动数据，两种算法
磨削工序圆跳动，USL = 0.040 mm，单侧规格。取 n = 20 个实测值（mm，已排序）：
0.008, 0.009, 0.010, 0.011, 0.011, 0.012, 0.012, 0.013, 0.013, 0.014, 0.014, 0.015, 0.016, 0.017, 0.018, 0.019, 0.021, 0.023, 0.026, 0.030
（一）基本统计量
Σx = 0.3120 → X̄ = 0.3120 / 20 = 0.01560 mm
Σ(x−X̄)² = 6.388 × 10⁻⁴ → s² = 6.388×10⁻⁴ / 19 = 3.362×10⁻⁵ → s = 0.005800 mm
（二）按正态算 Cpk
Cpk(上) = (USL − X̄) / (3s) = (0.040 − 0.0156) / (3 × 0.005800) = 0.02440 / 0.01740 = 1.402
对应 Z = 3 × 1.402 = 4.207 → 尾部概率 P(Z > 4.207) ≈ 1.29 × 10⁻⁵ → 预测 12.9 ppm
漂亮吧？可实际超差率是 2000 ppm 左右。差了 155 倍。
（三）画正态概率图，看看哪儿不对
用中位秩 P_i = (i − 0.3) / 20.4：
| i | x₍ᵢ₎ | P_i | z_i |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.008 | 0.0343 | −1.821 |
| 5 | 0.011 | 0.2304 | −0.738 |
| 10 | 0.014 | 0.4755 | −0.062 |
| 15 | 0.018 | 0.7206 | +0.584 |
| 20 | 0.030 | 0.9657 | +1.822 |
算一算前后两段的斜率（Δx / Δz）：
- i = 1 → 10 段：(0.014 − 0.008) / (−0.062 + 1.821) = 0.0060 / 1.759 = 0.00341
- i = 10 → 20 段：(0.030 − 0.014) / (1.822 + 0.062) = 0.0160 / 1.884 = 0.00849
右段斜率是左段的 2.5 倍——点列明显下凹、右端翘起，标准的右偏特征。这条曲线，眼睛都能看出来不是直线。
（四）AD 检验
按公式逐项算，示范第 1 项（i = 1）：
- x₍₁₎ = 0.008 → z = (0.008 − 0.0156)/0.00580 = −1.310 → F = 0.0951 → ln F = −2.3529
- x₍₂₀₎ = 0.030 → z = (0.030 − 0.0156)/0.00580 = 2.483 → 1−F = 0.00652 → ln(1−F) = −5.0327
- (2×1−1) × (−2.3529 − 5.0327) = 1 × (−7.3856) = −7.3856
20 项全部累加后代入，得 A² = 0.845，修正：
A*² = 0.845 × (1 + 0.75/20 + 2.25/400) = 0.845 × 1.0431 = 0.881
0.881 > 0.752，p ≈ 0.02 < 0.05，拒绝正态假设。图形和检验结论一致。
（五）对数变换后重算
令 y = ln(x)：
Σy = −84.4143 → ȳ = −4.22072 Σ(y−ȳ)² = 2.34188 → s²_y = 2.34188 / 19 = 0.123257 → s_y = 0.35108
变换后重做 AD 检验：A*² = 0.28，p ≈ 0.60 > 0.05，不拒绝正态——变换有效。
在对数尺度上算能力：
USL_y = ln(0.040) = −3.21888
Z = (−3.21888 + 4.22072) / 0.35108 = 1.00184 / 0.35108 = 2.8536
Cpk = 2.8536 / 3 = 0.951
对应尾部概率 P(Z > 2.8536) = 0.00216 → 预测 2160 ppm
（六）两套结果对照
| 方法 | Cpk | 预测 ppm | 与实际（≈2000 ppm）比 |
|---|---|---|---|
| 直接按正态 | 1.402 | 12.9 | 低估 155 倍 |
| 对数变换后 | 0.951 | 2160 | 吻合 |
真相大白：这道工序真实能力只有 0.95，压根不达标。之前那个 1.40 是拿错误分布算出来的幻觉。
后续动作也就顺理成章了——不是去改抽样、不是去查量具，而是老老实实立项改磨削工艺（砂轮平衡 + 中心架支撑），把长尾压下去。半年后同样用对数变换法复评，Cpk 到 1.28。
四、常见误区提醒
- 只看 p 值，不看样本量和图。n > 500 时几乎所有真实数据都会被判非正态，n < 25 时几乎什么都能通过。p 值必须配着正态概率图和样本量一起解读，单独一个 p 值不构成结论。
- 一发现非正态就急着做变换。变换是第三步，不是第一步。先分层——多模穴、多设备、多批料混在一起造成的"假非正态"，占我经手案例的一半以上。分层之后各自正态，问题就没了；不分层就变换，等于把两个总体硬揉成一个，指数算出来谁也代表不了。
- 数据变换后忘了把规格限也一起变换。Cpk 必须在同一个尺度上算。你把数据取了对数，规格限也得取对数（本例 USL 从 0.040 变成 −3.21888），否则算出来的数字毫无意义。同理，变换后的均值反变换回来是中位数不是均值，报告里别写混。
五、小结 & 互动提问
正态性不是学院派的洁癖，它直接决定你报出去的 ppm 是真是假。控制图对它宽容，能力指数对它极其苛刻——因为能力指数算的就是尾巴上那点事。
流程记住四步：看图 → 检验 → 分层查因 → 变换或换分布。别跳步，尤其别跳"分层"那一步。
互动提问：你厂里报 Cpk 的时候，做过正态性检验吗？特别是形位公差（跳动、平面度、垂直度）和粗糙度这些"下有 0 边界"的特性——如果现在把原始数据拉出来画张正态概率图，你猜那条线会往哪边弯？
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