GB/T 17989.9-2022 平稳过程控制图

① 缘起：数据不是独立的，传统控制图就失灵了

传统 SPC（第 2 部分等）假设"过程数据统计独立"。但化工、连续生产等行业的数据天然自相关——测量系统、过程动态都会带来相关性。采样间隔越短，正自相关越严重。

自相关（autocorrelation）：按时间顺序的观测值之间"自己和自己相关"。例如血压受某物质随机分泌影响后，几次连续测量都偏高；黏度受上一时刻状态影响，趋势明显。

✅ 平稳过程

处于"统计平衡"状态：均值、方差不随时间变化，自协方差只依赖时间间隔。是独立同分布（i.i.d.）序列的直接延伸。

⚠️ 非平稳过程

均值或方差随时间漂移（趋势/周期）。需要先差分或拟合趋势，或直接用它建立残差图。

为什么重要？ 正自相关让 CUSUM/EWMA 图频繁误报警（受控 ARL 骤降，虚警增加），让 X 图漏报小偏移（失控 ARL 增大）——详见 §9 的模拟表。

📌 两类应对：① 残差图——先拟合时间序列模型，用残差画传统图；② 调整控制限——不改数据、直接按自相关修正控制限（EWMAST 等）。后者更直接，是本章重点。

② 自相关的数学模型：AR(1) 过程

最常用的自相关模型是一阶自回归 AR(1)：x_t − μ = φ(x_t−1 − μ) + a_t。φ 是自相关系数，|φ|<1 时过程平稳。

x_t − μ = φ·(x_t−1 − μ) + a_t　（a_t 为白噪声，均 0、方差 σ_a²）
|φ| < 1 → 平稳；Var(x) = σ_a²/(1−φ²)；自相关函数 ρ(k) = φ^k
φ > 0 正自相关（最常见），φ < 0 负自相关，φ=0 退化为白噪声

φ（自相关系数）0.50 N（数据长度）100

💡 拖动 φ：φ 越大，序列越"平滑"（相邻点黏在一起、轨迹拖尾），ACF 衰减越慢——这正是正自相关的视觉特征。φ 小则接近随机噪声。

③ 怎么判断数据有没有自相关？

两种常用方法（附录 A.5）：ACF 置信带 和 游程检验。

样本自相关：ρ̂(τ) = γ̂(τ)/γ̂(0)，γ̂(τ) = Σ(x_t−x̄)(x_t+τ−x̄)/N
独立同分布假设下：ρ̂(τ) 近似 N(0, 1/N) → 约 95% 落在 ±1.96/√N 内
ACF 图中任何 |ρ̂(τ)| 超出置信带（τ≥1）→ 存在自相关

下面用 §2 的同一组数据，画出 ACF 图 + 置信带。若柱子超出虚线，就说明数据不独立。

✅ 标准示例（4.2 铝冷轧黏度，N=50）：置信带 ±1.96/√50 = ±0.277，图 2 中多处超出 → 数据明显自相关，需用残差图/EWMAST 处理。

📌 游程检验：若均值可能变化（非平稳），ACF 会误报强自相关——此时用上下游程的非参数检验补充。两者结合判断。

④ 方法一：残差图（Residual Chart）

先拟合时间序列/数学模型，算残差 R_t = x_t − x̂_t。模型正确时残差彼此独立，可以放心用传统控制图（X 残差图/CUSUM 残差图/EWMA 残差图）。

R_t = x_t − x̂_t（x̂_t 为模型预测值）
模型正确 → 残差 ≈ 白噪声 → 可用 X̄/CUSUM/EWMA 图监测
X 残差图控制限：R̄ ± 3·S_R

φ（AR(1) 系数） N 偏移 δ（σ 倍数，t>N/2 起）

📌 标准强调：① 残差图可处理任何自相关（含非平稳）；② 但 AR(1) 的 X 残差图对均值变化监测效果不佳（自相关强时残差图反而更弱）；③ 需不断检验模型有效性。

⑤ 方法二：EWMAST 控制图（重点）

不建模，直接按自相关调整 EWMA 的控制限——这是标准推荐的首选方法。统计量：Z_t = (1−λ)Z_t−1 + λ·x_t，但 Z_t 的方差要计入自相关的影响。

Z_t = (1−λ)Z_t−1 + λ·x_t，Z₀ = μ
σ_Z² = (λ/(2−λ))·σ²·[1 + 2Σ_k=1..M ρ(k)·(1−λ)^k·(1−(1−λ)^2(M−k))]
控制限：μ ± L_Z·σ_Z（常用 λ=0.2，L_Z=2 或 3）
μ、σ、ρ(k) 用受控历史数据估计；推荐 M=25（N≥100 时）、M < N/4

为什么多一个方括号？ 传统 EWMA 方差是 σ²λ/(2−λ)；自相关让 Z_t 更"黏"、波动更大，所以要乘上 [1+2Σρ(k)(1−λ)^k·修正项]。自相关越强（φ 越大），控制限越宽，避免误报。

φ（AR(1) 系数）0.50 λ（平滑） L_Z σ

✅ 标准 4.3.1 示例：φ=0.5、σ²=1、N=200，前 100 个均值 0、第 101 起 +1σ。估计 x̄=−0.10、S=0.91、σ_Z=0.24（示例基于未公开样本）；第 110 个观测开始报警。本页用稳态公式复算：φ=0.5、σ²=1、λ=0.2 → σ_Z=0.509≈0.51（与 §5 方差示例吻合），控制限 ±3×0.51。

📌 标准结论（4.4）：EWMAST 优于 CUSUM 残差图、EWMA 残差图、X 残差图和单值 X 图；且无需建模，只需估计受控状态的 μ、σ、ρ(k)。自相关强到近乎不平稳时 EWMAST 仍相对最好。

⑥ 监测自相关均值的方法比较（4.4）

方法	需要建模？	适用自相关	检测均值偏移	备注
X 残差图	是	任意	弱（自相关强时反而更差）	建模误差会混合进来
CUSUM 残差图	是	任意	强自相关时一般	自相关弱时优于 X 残差图
EWMA 残差图	是	任意	与 CUSUM 残差图相当	自相关弱时优于 X 残差图
EWMAST	否	平稳任意强度	最优	只需估计 μ、σ、ρ(k)；推荐首选

📌 结论：平稳 + 自相关 → 首选 EWMAST。它不建模、实现简单、检测力最强。

⑦ 散度监测：EWMS 控制图

均值之外，还要监测方差（散度）是否变化。指数加权均方差（EWMS）：s_t² = (1−r)s_t−1² + r(x_t−μ)²。

s_t² = (1−r)·s_t−1² + r·(x_t−μ)²，s₀² = σ²（r 为平滑参数，0<r≤1）
中心线 = σ²；控制限由 σ² 与卡方分布决定（自由度每时刻是 r 的函数）
示例：r=0.05、α=0.05 → 渐近上下限 (0.52, 1.64)（σ²=1 时）

r（平滑） σ² 阶段 1 (t≤150) σ² 阶段 2 (151-300) σ² 阶段 3 (301-450)

✅ 标准示例（第 5 章）：AR(1) φ=0.5、μ=0，σ² 在 t=1..150 为 1、151..300 为 0.5、301..450 为 2。EWMS r=0.05 渐近限 (0.52, 1.64)：t=158 检测到方差下降、t=329 检测到上升；同时 EWMAST（σ_Z=0.51）显示均值稳定 → 判定是方差变化而非均值变化。

⑧ 另一种散度图：EWMV

指数加权移动方差（EWMV）：与 EWMS 类似，但用观测值的 EWMA 估计均值，再算加权方差。

EWMV：先算 EWMA 均值估计，再对 (x_t−均值估计)² 做指数加权
与 EWMS 区别：μ 未知时用 EWMA 动态估计，μ 已知时直接用 EWMS

实践中：μ 已知（有目标值）→ EWMS；μ 未知 → EWMV。两者都可与 EWMAST 配合，同时监测均值和方差。

📌 标准建议：EWMAST 看均值 + EWMS/EWMV 看方差，两张图配套使用，才能完整把握平稳过程的受控状态。

⑨ 附录 B：自相关如何破坏传统控制图

标准用蒙特卡洛模拟（每种情况 2000 个序列）量化了正自相关的影响——ARL 表 B.1。下面可交互复现：

φ0.50 均值偏移 δ（σ 倍数）1.00

φ	自相关	δ=0 受控 ARL(X)	δ=1 ARL(X)	δ=0 CUSUM	δ=0 EWMA
0	无	370.40	43.89	465.00	547.71
0.25	弱	381.60	46.61	119.35	139.50
0.5	中	400.74	56.42	49.23	56.00
0.75	中偏强	496.04	74.33	30.98	31.45
0.9	强	833.59	157.72	29.02	26.24

📌 三个结论：① 自相关对 X 图受控 ARL 影响不大（370→834），但失控 ARL 急剧增大（δ=1 时 44→158）→ X 图漏报小偏移；② 对 CUSUM/EWMA 受控 ARL 骤降（465→29、548→26）→ 频繁虚警！即使 φ=0.25 的弱自相关也明显；③ 自相关越强、均值偏移越小，影响越显著。

⑩ 附录 A：随机过程与时间序列速成

自协方差与自相关

自协方差：γ(t₁,t₂) = E[(X_t₁−μ)(X_t₂−μ)]；ρ(t₁,t₂) = γ(t₁,t₂)/(σ₁σ₂)
平稳：E[X_t]=μ 常数、Var[X_t]=σ² 有限、γ 只依赖间隔 τ=t₁−t₂ → γ(τ)、ρ(τ)=γ(τ)/σ²、ρ(0)=1

白噪声

同分布、均值方差相同且有限、任意 t₁≠t₂ 时 γ=0 → 自相关系数恒为 0（除 0 间隔）。正态白噪声 = i.i.d. 序列。

参数估计

μ̂ = x̄；γ̂(τ) = Σ_t(x_t−x̄)(x_t+τ−x̄)/N；ρ̂(τ) = γ̂(τ)/γ̂(0)
实务：方差常用样本方差 s²（分母 N−1）替代 γ̂(0)

📌 经验法则（引用文献 12）：N≥50 且 τ<N/4 时 ρ̂(τ) 估计才有效；EWMAST 的 M 取 25（N≥100）且 M<N/4。

⑪ 其他思路：让自相关"消失"

✅ 加大采样间隔

平稳过程采样越稀疏，样本自相关越弱；间隔足够大时数据近似独立。代价：丢弃中间数据，可能错过重要事件。

✅ 批次均值

窗口固定的移动平均/批次均值：批次足够大时近似独立且正态（白噪声）。随后用常规图监测批次均值。

这两类"预处理"与残差图、EWMAST 并列，都是应对自相关的实用手段。

⑫ 应用决策：数据自相关时怎么选

先检验：ACF 置信带 / 游程检验
├─ 无自相关 → 常规控制图（第 2 部分）
└─ 有自相关 ├─ 非平稳 → 差分/拟合趋势 → 残差图（第 4 节） └─ 平稳 ├─ 监测均值 → EWMAST（首选）或残差图 └─ 监测散度 → EWMS（μ 已知）/ EWMV（μ 未知）

✅ 记忆口诀：先检验、后选图；平稳均值用 EWMAST，平稳散度用 EWMS/EWMV，非平稳先建模再残差。

⑬ 小结：平稳过程控制图一页速查

要点	内容
问题	过程数据自相关 → 传统图误报/漏报
检验	ACF 置信带 ±1.96/√N + 游程检验
模型	AR(1)：x_t−μ=φ(x_t−1−μ)+a_t，ρ(k)=φ^k，Var=σ_a²/(1−φ²)
均值监测	EWMAST：Z_t=(1−λ)Z_t−1+λx_t，限 μ±L_Zσ_Z，σ_Z²=(λ/(2−λ))σ²[1+2Σρ(k)(1−λ)^k…]
散度监测	EWMS：s_t²=(1−r)s_t−1²+r(x_t−μ)²，限由 χ² 定；EWMV（μ 未知）
残差图	先建模再画残差；任意自相关可用，但 AR(1) 的 X 残差图检测力弱
结论	平稳+自相关 → 均值用 EWMAST、散度用 EWMS/EWMV；EWMAST 表现最优且不建模

🎓 七册连读建议：常规图(②) → CUSUM(④) → EWMA(⑥) → 短周期(⑧) → 平稳过程(⑨)。常规/CUSUM/EWMA 假设独立，短周期解决"数据少"，平稳过程解决"数据不独立"。